Պարապումք 29

189

OC=OD

<1=<2

<1=<2=<3=<4

Քանի որ ուղղանկյան անկյունագծերը հավասար են և հատման կետում կիսվում են, ապա <COD-ն հավասարասրուն է, նշանակում է, որ հիմքին առընթեր  անկյունները հավասարասրուն են ՝ <1=<2: Հանգունորեն  <O, C, D-ից  <3=<4: Քանի որ եռանկյան ներքին անկյունների գումարը 180^օ է, => որ  <1+<2+<3+<4, իսկ քանի որ այդ անկյունները հավասար են, ապա ստացվում է        < OCD ~ O, C, D ըստ առաջին հայտանիշի:

Համանման դատողություններով ապացուցում են, որ անկյունագծերով  առաջացած համապատասխան եռանկյունները նման են, հետևաբար ուղղանկյունները նման են:

191

Տրվ. ABCD

AC=12սմ BD=16սմ

<A=<C=<A₁, <C₁

<B=<D=<B₁=D₁

AB=2*A₁B₁

SABCD-? SA₁B₁C₁D₁-?

Դիտարկենք <AOB և <A₁O₁B₁: Քանի որ շեղանկյան անկյունագծերը նաև կիսորդներ են, ապա <1=<3, <2=<4: Այստեղից բխում է, որ ըստ B-ի նմանության առաջին հայտանիշի < AOB ~ A, O, B- ի: Քանի որ անկյունագծով շեղանկյունում բաժանվում  է  4 հավասար  եռանկյունների, ապա առաջին շեղանկյունը նման է երկրորդին: SABCD/SA₁B₁C₁D₁=K²(AB/A₁B₁)²=(2x/x)²=4

SABCD=1/2 d₁d₂=1/2*12*16=96սմ²

SA₁B₁C₁D₁=96:4=24սմ²

196

Տրվ. <ABC, <DEF

AB=9, BC=12, AC=18

DE=3, DF=6, EF=4

Ապացուցել <ABC~<DEF

AB II DE

AC/DF=AB/ED=BC/EF

18/6=9/3=12/4=3=k

3=3=3

Ըստ <-ի նմանության երրորդ հայտանիշի <ABC~<DEF:

Եթե <-ները նման են, ապա համապատասխան անկյունները հավասար են:

<A=<E

Քանի որ 2 ուղիղը երրորդով հատելիս առաջացած համապատասխան անկյունները հավասար են, ապա այդ անկյունները զուգահեռ են:

AB II ED

202

Տրվ. <ABC, <A₁B₁C₁

AB=BC, A₁B₁=B₁C₁

AC=8,  A₁C₁=12, <B=<B¹

BK=3

A₁B₁=B₁C₁-?, A₁C₁-?

Դիտարկենք <B₁K₁C₁  և <BKC: Քանի որ BK-ն հավասարասրուն եռանկյան գագաթի տարված միջնագիծ է, ապա նաև կիսորդ է և բարձրություն: Ոիրեմն  եթե <B=<B¹ ապա <B/2B1/2: <B₁K₁C₁ =BKC=90^o:

Այստեղից բխում է  որ, ըստ <-ների նմանության առաջին հայտանիշի <B₁K₁C₁~BKC:

Ըստ Պյութագորասի թեորեմի՝

BC=√KC²+BK²=√3²+4²=√25=5

A₁B₁/2=B₁C₁/5=6/4

A₁B₁=5*6/4=7,5=B₁C₁

Պատ՝. 7.5, 7.5:

207

FN=KD=CN/CD=FC/KC

FN/6=1/5

FN=6*1/5=6/5

MN=MF+FN=2+11/5=31/5

C գագթից տանենք AB -ի զուգահեռ CK ուղիղը:

BM=CF, AM=KF և AK+MF+BC-ին որպես զուգահեռ հատվածքների մեջ առնված զուգահեռ հատվածքներ:

Դիտարկենք <CFN-ն և <CKD-ն: <CFN~<CKD-ին:

Ըստ եռանկյունների նմանության առաջին հայտանիշի <C-ն ընդհանուր է, իսկ <CFN-ն հավասար է <CKD-ին որպես համապատասխան անկյուններ:

Պարապումք 25

162

ABE ~ CDE

CDE-ից CD=√10²-8²=√100-64=√36=6

CD/AB=CE/BE=DE/AE

6/y=10/BE=8/28

6/y=8/28

y=6*28/8=21

165

9/6=4,5/3=6/4=1,5

166

ABE~ EFC

AEB < FEC

170

174

DBE~ABC

15/20=16-x/16

48=64-4x

4x=16

x=4

Պարապումք 21

Վարժություն 107

AC=AB+AD=a+b

AM=3/5AC=3/5(a+b)

Վարժություն 111

a=2i+3j

a {2, 3}

b=-1/2i-2j

b={-1/2-2}

c=8i

c={8,0}

d=i-j

d={1,-1}

e=-2j

e={0,-2}

f=-i

f={-1,0}

Վարժություն 113

xi+yj=5i-2j

x=5, y=-2

-3i+yj=xi+7j

x=-3, y=7

xi+yj=-4

x=-4, y=0

xi+yj=0

x=0, y=0

Վարժություն 114

a{3,2}

b={2,5}

a+b={5,7}

a{3, -4}

b{1, 5}

a+b={4, 1}

a{-4, -2}

b{5,3}

a+b={1, 1}

a{2, 7}

b {-3, -7}

a+b={-1, 0}

Վարժություն 115

a{5, 3}

b{2, 1}

a-b={3, 2}

a{3, 2}

b{-3, 2}
a-b={0, 0}

a{3, 6}

b{4, -3}

a-b={-1, 3}

a{-5, -6}

b{2, -4}

a-b={-3, -8}

Վարժություն 116

a{3, 2}
2a{6, 4}

3a{9, 6}

-a{-3, -2}

-3a{-9, -6}

Պարապումք 20

Վարժություն 83

Վարժություն 89

Վարժություն 91

x=m+n, y=m-n

ա) 2x-y=2(m+n)-2(m-n)=2m+2n-2m+2n=4n

բ) 2(m+n)+0,5 (m-n)=2m+2n+0,5m-0,5n=2,5m+1,5n

գ) -x-1/3y=-x(m+n)-1/3 (m-n)=-1 1/3m -2/3n

Վարժություն 93

AM=AB+BM=b+3/4a

MD+DC=MC

MD=a/4-b

Վարժություն 94

x=AD

AM=1/3x     MD=2/3x

AC=y+x      DB=AB-AD

AO=y+x/2

CO=-y+x/2

DO=y-x/2

AD+BC=y+x

AD+CO=x-y+x/2=x-y/2

CO+OA=CA=-y-x

Պարապումք 15

• Ընտրելով հարմար մասշտաբ՝ գծագրել այն վեկտորները, որոնք պատկանում են ինքնաթիռի հետևյալ թռիչքը. սկզբում A քաղաքից դեպի հարավ՝ 300 կմ մինչև B  քաղաքը, իսկ հետո արևելք ՝ 500 կմ մինչև C քաղաքը: Այնուհետև գծել AC → վեկտորը, որը պատկերում է ինքնաթիռի տեղափոխությունը թռիչքի սկզբնակետից մինչև վերջնակետ:

• ABCD ուղղանկյան մեջ  AB=3սմ, BC=4սմ, իսկ M-ը AB կողմի միջնակետն է: Գտնել AB, BC, DC, MC, MA, CB, AC վեկտորների երկարությունները:

|AB|-3սմ

|BC|-4սմ

|DC|-3սմ

|MC|-√2²+3²=√4+9=√13սմ

|MC|-√13սմ

|CB|-4սմ

|MA|-2սմ

|AC|-√3²+4²=√9+16=√25սմ

|AC|-5սմ

• ABCD զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են Օ կետում:  Արդյո՞ք  հավասա՞ր են հետևյալ վեկտորները.  AB և DC, BC և DA, AO և OC, AC և BD:

AB և DC հավասար են

BC և DA հավասար չեն

AO և OC հավասար են

AC և BD հավասար չեն

• MNKL հավասարասրուն  սեղանի  MN և LK սրունքների միջնակետերը S և T կետերն են: Արդյոք հավասա՞ր են հետևյալ վեկտորները. NL և KL, MS և SN, MN և KL, TS և KM, TL և KT:

NL և KL հավասար չեն

MS և SN հավասար չեն

MN և KL հավասար չեն

TS և KM հավասար չեն

TL և KT հավասար չեն

Պարապումք 13

• Տրված են ABCD սեղանի գագաթների կոորդինատները.

A(-2;-2), B(-3; 1), C(7; 7), D (3; 1): Գրել այն ուղիղների հավասրումները, որոնք ընդգրկում են ՝ ա) AC և BD անկյունագծերը, բ) սեղանի միջին գիծը:

(-2; -2) = (7; 7)

x+2/7+2=y+2/7+2

x+2/9=y+2/9

9(x+2)=9(y+2)

9x+18=9y+18

9x+18-9y-18

9x-9y-0=0

x-y=0

(-3; 1) = (3; 1)

x+3/3+3=y-1/1-1

x+3/6=y-1/0

0(x+3)=6(y-1)

0x+0=6y-6

0+0-6y+6

x-6y+6=0

-6y+6=0

y-1=0

• Գտնել 4x+3y-6=0  և 2x+y-4=0 ուղիղների հատման կետի կոորդինատները:

4x+3y-6=0 2x+y-4=0

3y=-4x+6 y=-2x+4

y=-4x+6/3

-4x+6/3=-2x+4

-4x+6=3 (-2x+4)

-4x+6=-6x+12

-4x+6x=12-6

2x=6

x=6:2

x=3

y=-2*3+4=-6+4=-2

(3 ; -2)

Պարապումք 11

• Գծագրել այն շրջանագիծը, որը տրված է հետևյալ հավասարումով:

ա) (x － 1) ² + y ² = 4

բ)  x ²+ ( y + 2 ) ² = 16

• Շրջանագիծը տրված է (x + 5) ² + (y － 1) ²=16 հավասարումով: Առանց գծագրից օգտվելու նշել, թե A (－2; 4), B (－5; －3), C(－7; －2) և D (1; 5) կետերից որո՞նք են ընկած՝ ա) տրված շրջանագծով եզերված շրջանի ներսում, բ) շրջանագծի վրա, գ) տրված շրջանագծով եզերված շրջանից դուրս:

(－2 + 5) ²+(4 － 1)²= 9 + 9 =18 (շրջանագծից դուրս)

(－5+5)²+(－3－1)²= 0+16=16 (շրջանագծի վրա)

(－7 + 5)²+(－2－1)²=4+9=13 (շրջանագծի ներսում)

(1 + 5)²+(5 － 1)²=36 + 16=52 (շրջանագծից դուրս)

•  Գտնել (x － 3)²+(y － 5)²=25 հավասարումով տրված շջանագծի վրա ընկած այն կետերը, որոնց՝ ա) աբսցիսը 3 է, բ) օրդինատը 5 է:

ա) (3 － 3)²+(y － 5)²=25

0 + y－ 25=25

25－ 0=25

բ) (x － 3)²+(5 － 5)²=25

x－9+0=－9

25－9=16

• Գտնել այն շրջանագշերի հավասարումները, որոնց կենտրոնը կոորդինատների սկզբնակետն է, իսկ շառավիռներն են՝

r₁=3 r₁=9

r₂=√2 r₂=√2

r₃=5/2 r₃=25/4

Պարապումք 9

• Ի՞նչ է եռանկյունը: Ի՞նչ է եռանկյան պարագիծը:

Մի ուղղի վրա չգտնվող երեք կետերը հատվածներով միացնելուց ստացվող պատկերն անվանում ենք եռանկյուն:

Այդ կետերն անավանում են ՝ եռանկյան գագաթներ, հատվածներն անվանում ենք եռանկյան կողմեր:

Իսկ երկու կողմերով կազմված անկյունները անվանում ենք եռանկյան անկյուններ:

AB, BC, AC կողմեր

<BAC=A

<BCA=C

<ABC=B

P_ABC=AB+BC+AC

• Ո՞ր եռանկյուններն են կոչվում հավասար:

Եթե երկու եռանկյուններ կարելի է վերադրել այնպես, որ մի անկյունը համընկնի մյուսին, ապա անկյունները հավասար են:

• Ի՞նչ է թեորեմը:

Յուրաքանչյուր պնդում, որի ճշմարիտ լինելը հաստատվում է դատողությունների միջոցով, մաթեմատիկայում անվանում են թեորեմ:

• Ո՞ր հատվածն է կոչվում տրված կետից տրված ուղղին տարված ուղղահայաց:

Եթե երկու ուղիղներ հատվում են և առաջացնում են 4 հատ ուղիղ անկյուն, ապա այդ ուղիղները 4 հատ ուղղահայաց են:

Եվ ասում ենք, որ մի ուղիղը ուղղահայաց է մյուսին:

• Ձևակերպել և ապացուցել թեորեմ՝ տրված կետից տրված ուղղին տարված ուղղահայացի մասին:

Ուղղի վրա չգտնվող կետից կարելի  էտանել ուղղահայաց, այն էլ միայն մեկը:

• Ո՞ր հատվածն է կոչվում եռանկյան կիսորդ: Եռանյունը քանի՞ կիսորդ ունի:

1. Եռանկյան անկյան կիսորդի, այն հատվածը, որը միացնում է գագաթը և նրա հանդիպակաց կետը անվանում ենք եռանկյան կիսորդ:
2. Եռանկյունն ունի երեք կիսորդ: Կիսորդները հատվում են մի կետով:

• Ո՞ր հատվածն է կոչվում եռանկյան բարձրություն:

Եռանկյան գագաթից հանդիպակաց կողմն ընդգրկող ուղղին տարված ուղղահայացը, կոչվում է եռանկայն բարձրություն:

1. ABC եռանկյան պարագիծը 15 սմ է: BC կողմը AB կողմից մեծ է 2սմ-ով, իսկ AB կողմը AC կողմից փոքր է  1սմ-ով: Գտնել եռանկյան կողմերը:

Տրվ. ABC

P_ABC=15 սմ

BC=AB+2

AC=AB－1

———-

AB-? AC-? BC-?

AB կողմը նշանակենք x-ով, BC-ն կլինի x+2, իսկ AC-ն x－1:Հետևաբար

P=AB+BC+AC, կլինի

15=x+x+1+x+2

3x=15－1－2

3x=12

x=4 (AB)

AC=5սմ

BC=4+2=6սմ

2. Հավասարասրուն եռանկյան հիմքը 2 սմ-ով մեծ է սրունքից և 3սմ-ով փոքր է սրունքների գումարից: Գտնել եռանկան կողմերը:

Տրվ. ABC

AB=BC

AC=AB+2

AC=2*AB－3

——————

AB=BC? AC?

AB=BC-նշանակնեք x-ով

AC-ն կլինի x+2

x+2=2*x－3

2x－x=2+3

x=5(AB=BC)

AC=5+2=7

Պարապումք 7

• Երկու ուղիղների հատվելու դեպքում քանի՞ չփռված անկյուն է առաջանում:

Պատ՝. 4:

• Նշված կետերից որոնք են գտնվում hk անկյան ներսում, իսկ որոնք այդ անկյունից դուրս:

N, C անկյան դրսում

M, A անկյան ներսում

D, O, B անկյան վրա

• O սկզբնակետով ճառագայթի վրա նշված են A, B և C կետերն այնպես, որ B կետն ընկած է O և A կետերի միջև: Համեմատել հետևյալ հատվածները՝ OB և OA, OC և OA, OB և OC:

OB>OA

OC>OA

OB<OC

• Տրված ճառագայթներից որո՞նք են տրոհում AOB անկյունը երկու անգամ:

Ol և Oh

Պարապումք 5

1. Տանել ուղիղ, այն նշանակել a տառով, նշել այդ ուղղի վրա գտնվող A և B կետերը և նրա վրա չգտնվող P, Q և R կետերը: Օգտագործելով ∈ և ∉պայմանանշանները՝ նկարագրել  A, B, P, Q, R կետերի և ուղղի փոխադարձ դասավորությունը:

∈=A, B

∉=P, Q, R

• ա) Նշել երեք՝  A, B և C կետերը, որոնք չեն գտնվում մի ուղղի վրա, և տանել AB, BC և CA  ուղիղները:

բ) Տանել երեք ուղիղ այնպես, որ նրանցից յուրաքանչյուր երկուսը հատվեն: Նշանակել այդ ուղիղների բոլոր հատման կետերը:

• Տանել a ուղիղ և նրա վրա նշել A և B կետերը: Նշել՝ ա) AB հատվածի վրա գտնվող M և N կետեր, բ) a ուղղի վրա գտնվող, բայց AB հատվածի վրա չգտնվող P և Q կետեր, գ) a ուղղի վրա չգտնվող R և S կետերը:

• Տանել ուղիղ և նրա վրա նշել երեք կետ: Քանի՞ հատված է ստացվում ուղղի վրա:

Պատ.՝ 3:

• Տանել որևէ ուղիղ, նրա վրա նշել A և  B կետեր, իսկ AB հատվածի վրա՝  C կետը: ա) AB, BC, CA, AC, BA ճառագայթներից որո՞նք են համընկնում: բ) Ո՞ր ճառագայթն է ճառագայթի CA շարունակությունը:

AB→

BC←

CA←

AC→

BA←

Շարունակությունը CB

• ա) Գծել երեք չփռված անկյուններ և դրանք նշանակել՝ AOB, hk, M:

բ) Գծել երկու փռված անկյուններ և դրանք նշանակել տառերով:

• Գծել ընդհանուր սկիզբ ունեցող երեք ճառագայթ՝ ∡ h, ∡ k, ∡ l : Անվանել բոլոր անկյունները, որոնք կազմվում են այդ ճառագայթներով:

∡hk

∡kl

∡hl

• Գծել hk չփռված անկյուն: Նշել երկու կետ այդ անկյան ներսում, այդ անկյունից դուրս և անկյան կողմերի վրա:

• Նշել չորս կետ այնպես, որ նրանցից յուրաքանչյուր երեքը մի ուղղի վրա չգտնվեն: Կետերի յուրաքանչյուր զույգով տանել ուղիղ: Քանի՞ ուղիղ է ստացվում:

AB

AD

AC

1. Տրված են չորս ուղիղ, որոնցից յուրաքանչյուր երկուսը հատվում են: Քանի՞սն են հատման կետերը, եթե յուրաքանչյուր հատման կետով անցնում է միայն երկու ուղիղ:

Պատ.՝ 4:

1. Քանի՞ չփռված անկյուն է առաջանում միևնույն կետով անցնող երեք ուղիղների հատման դեպքում:

Պատ.՝ 12:

1. N կետը գտնվում է  MP հատվածի վրա: M և P կետերի հեռավորությունը 24սմ է, իսկ N և M կետերի հեռավորությունը՝ երկու անգամ մեծ, քան N և P  կետերի հեռավորությունը; Գտնել՝ ա) N և P կետերի հեռավորությունը,

բ) N և M կետերի հեռավորությունը:

Տրված է MN հատված

MP=24սմ

MN=48սմ

MN=2*MP

Քանի որ MN=2*MP ապա MP=2*24=48սմ և MP=PN=24սմ

1. AB հատվածի երկարությունը 14սմ է, իսկ D կետը գտնվում է AB ուղղի վրա: Գտեք AD հեռավորությունը, եթե DA=3DB:

Տրված է AB հատված

AD=3DB, AB=14սմ, AD

DB-ն նշանակենք x-ով AD=3x

AB=AD+DB

3x+x=14

4x=14

X= 14/4=3,5,  AB=3*3,5=10,5սմ

1. K, L, M երեք կետերը գտնվում են մի ուղղի վրա. KL=6սմ, LM=10սմ: Կատարել գծագիր յուրաքանչյուր հնարավոր դեպքի համար:

Տրված է a ուղիղ K∈a L∈a M∈a

KM=KL+LM=6+10=16սմ

KM=KL-KM=10-6=4սմ

1. a երկարությամբ AB հատվածը P և Q կետերով տրոհված է երեք՝ AP, PQ և QB հատվածների այնպես, որ AP=2PQ=2QB: Գտնել՝ ա) A կետի և QB հատվածի միջնակետի հեռավորությունը, բ) AP և QB հատվածների միջնակետերի հեռավորությունը:

AP= a/2

PQ=QB= a/4

QM= a/8

Տրված է AB=a

AP=2PQ=2QB

AM-? LM-?

AM=AP+PQ+QM= a/2+a/4 +a/8 = 4a+2a+a/8= 7/8 a

LM=AB-AL-MB=a- a/4 -a/8= 8a-2a-a/8=5/8a

1. A կետը գտնվում է Ox դրական կիսառանցքի, իսկ B կետը՝ Oy դրական կիսառանցքի վրա: Գտնել OACB ուղղանկյան գագաթների կորդինատները եթե՝ ա) OA=6,5, բ) OB=3, գ) OB=b

O (0:0)

B (0:3)

A (6,5)

C (6,5:3)